Question

已知S_n为数列{a_n}的前n项和，且S_n=2a_n+n²-3n-2（n=1，2，3…）．令b_n=a_n-2n（n=1，2，3…）．
（Ⅰ）求证：数列{b_n}为等比数列；
（Ⅱ）令，记T_n=c₁c₂+2c₂c₃+2²c₃c₄+…+2^n-1c_nc_n+1，比较T_n与的大小．

Answer

（Ⅰ）根据Sn与an的固有关系an=，由已知可得an+1=2an-2n+2，转化构造数列{bn}．研究其性质．
（Ⅱ）由（Ⅰ）bn=an-2n=2n  得 ， =，∴2 n-1 cncn+1=×（-），Tn可求其表达式，再进行证明．
【解析】
（Ⅰ）∵Sn=2an+n2-3n-2，
∴Sn+1=2an+1+（n+1）2-3（n+1）-2．
∴an+1=2an-2n+2，
∴an+1-2（n+1）=2（an-2n）．
∴bn=an-2n是以2为公比的等比数列             
（Ⅱ）a1=S1=2a1-4，∴a1=4，∴a1-2×1=4-2=2．
∴an-2n=2n，
∴an=2n+2n．
bn=an-2n=2n =Tn=c1c2+2c2c3+22c3c4+…+2n-1cncn+1
=×+2××+…+2n-1××
=×（-）+×（-）+…+×（-）
=×（-）
=-∴