Question

已知两点F₁（-2，0），F₂（2，0），曲线C上的动点P满足．
（1）求曲线C的方程；
（2）曲线C上是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）由题意可得：|MF1|+|MF2|=|F1F2|=4＞|F1F2|=4，所以曲线C是以F1（-2，0），F2（2，0）为焦点，长轴长为4的椭圆，进而求出椭圆的标准方程．
（2）假设椭圆C存在点M满足题意，设M（x，y），可得：=3，再利用点在椭圆上所以有：x2=8-2y2，进而根据两个方程求出点的坐标得到答案．
【解析】
（1）因为|F1F2|=4，|MF1|+|MF2|=|F1F2|=4＞|F1F2|=4，
所以曲线C是以F1（-2，0），F2（2，0）为焦点，长轴长为4的椭圆，
所以a=2，c=2，所以b2=4，
曲线C的方程为 ．
（2）假设椭圆C存在点M，使得．
证明：设M（x，y），则，，
所以．
因为，所以x2=8-2y2，
所以，令4-y2=3，解得：y=±1，所以x=．
所以满足题意的点共有四个：，．