Question

已知椭圆的离心率是，且经过点M（2，1），直线与椭圆相交于A，B两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）当m=-1时，求△MAB的面积；
（3）求△MAB的内心的横坐标．

Answer

（1）设椭圆的半焦距为c，利用椭圆的离心率是，可得a=2b，根据椭圆经过点M（2，1），可得，从而有a2=8，b2=2，故可求椭圆的方程为
（2）将直线代入椭圆方程得x2+2mx+2m2-4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则当m=-1时，x1+x2=2，x1x2=-2，所以AB的长为，利用点到直线的距离公式可求得点M（2，1）到直线x-2y-2=0 的距离为，从而可求△MAB的面积．
（3）设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，△MAB的内心是I，则，从而可知∠AMB的平分线MI垂直于x轴，故可△MAB的内心的横坐标．
【解析】
（1）设椭圆的半焦距为c
∵椭圆的离心率是，∴，∴a=2b
又椭圆经过点M（2，1），∴，解得a2=8，b2=2
∴椭圆的方程为
（2）将直线代入椭圆方程得x2+2mx+2m2-4=0
令△=4m2-4（2m2-4）＞0，∴-2＜m＜0
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-2m，x1x2=2m2-4
当m=-1时，x1+x2=2，x1x2=-2，∴AB的长为
点M（2，1）到直线x-2y-2=0 的距离为
∴△MAB的面积
（3）设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，△MAB的内心是I，则
∵m＜0，∴∠AMB的平分线MI垂直于x轴
∴△MAB的内心的横坐标是2．