Question

在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如图）．将矩形折叠，使A点落在线段DC上．
（I）若折痕所在直线的斜率为k，试求折痕所在直线的方程；
（II）当时，求折痕长的最大值；
（Ⅲ）当-2≤k≤-1时，折痕为线段PQ，设t=k（2|PQ|²-1），试求t的最大值．

Answer

（1）分情况讨论斜率表示直线的方程
（2）表示出线段后，分类讨论求最值
（3）表示线段，用均值不等式求最值
【解析】
（1）①当k=0时，此时A点与D点重合，折痕所在的直线方程
②当k≠0时，将矩形折叠后A点落在线段DC上的点记为G（a，1），
所以A与G关于折痕所在的直线对称，
有kOG•k=-1⇒⇒a=-k
故G点坐标为G（-k，1），
从而折痕所在的直线与OG的交点坐标
（线段OG的中点）为
折痕所在的直线方程，即
由①②得折痕所在的直线方程为：

（2）当k=0时，折痕的长为2；
当时，折痕直线交BC于点，交y轴于
∵
∴折痕长度的最大值为 
而
故折痕长度的最大值为  
（3）当-2≤k≤-1时，折痕直线交DC于，交x轴于
∵
∴
∵-2≤k≤-1
∴（当且仅当时取“=”号）
∴当时，t取最大值，t的最大值是．