Question

一副三角板（如图），其中△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，△DMN 中，∠MND=90°，∠D=60°，现将两相等长的边BC、MN重合，并翻折构成四面体ABCD．CD=a
（1）当平面ABC⊥平面BCD（图（1））时，求直线AD与平面BCD所成角的正弦值
（2）当将平面ABC翻折到使A到B、C、D三点的距离相等时（图（2）），
①求证：A在平面BCD内的射影是BD的中点；
②求二面角A-CD-B的余弦值．

Answer

（1）取BC的中点E，先证明AE⊥面BCD，从而找到线面角的平面角，再在直角三角形中计算此角即可（2）将平面ABC翻折到使A到B、C、D三点的距离相等，即三棱锥的三条侧棱相等，则其在底面上的射影也相等，即A在平面BCD内的射影是底面三角形的外心，而底面三角形是直角三角形，故可证明①；②取DC中点F，先证明AF⊥CD，OF⊥CD，从而找到二面角的平面角，再在直角三角形中计算此角即可
【解析】
（1）过A作AE⊥BC于E，连ED，
∵面ABC⊥面BCD，
∴AE⊥面BCD
∴∠ADE就是AD与面BCD所成的角
∵DC=a，则BC=a，AE=，DE=
∴AD=，∴sin∠ADE=
即AD与面BCD所成角的正弦值为．
（2）①设A在平面BCD内的射影为O，连OB、OC、OD，
∵AB=AC=AD
∴Rt△AOB≌Rt△AOC≌Rt△AOD，
∴OB=OC=OD
∴O是Rt△BCD的外心，即BD边的中点．
②取CD中点F，连OF、AF，由①得A在面BCD内的射影为O，OF∥BC，∴OF⊥CD，
∴AF⊥CD，
∴∠AFO就是二面角A-CD-B的平面角；
∵CD=a，
∴BD=2a，AB=a，
∴AO=a，
又∵OF=BC=a
∴AF=，
∴Rt△AFO中，cos∠AFO==
即二面角A-CD-B的余弦值为