Question

设F₁、F₂分别是椭圆  +y²=1的左、右焦点，P是该椭圆上的一个动点，O为坐标原点．
（1）求的取值范围；
（2）设过定点Q（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，且∠MON为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．

Answer

（1）由题意可求F1，F2的坐标，设P（x，y），则由向量的数量积的坐标表示可求=结合椭圆的性质可知，-2≤x≤2，利用二次函数的性质可求•
（2）由题设条件，可设直线L：y=kx+2，M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线与椭圆方程，由△＞0可求k的范围，结合方程的根与系数关系可求x1+x2，x1x2，然后由0°＜∠MON＜90°可知＞0，代入可求k的范围
【解析】
（1）由椭圆 +y2=1易知a=2，b=1，
∴c==，所以，
设P（x，y），则==x2+y2-3
==
由椭圆的性质可知，-2≤x≤2
∴
故-2≤≤1（6分）
（2）显然直线x=0不满足题设条件，可设直线L：y=kx+2，M（x1，y1），N（x2，y2）
则消去y，整理得：
由△=16k2-12（）＞0得：或…①（9分）
又∵，
又0°＜∠MON＜90°
∴cos∠MON＞0
∴＞0
∴＞0（11分）
∵y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4==
∴＞0，即k2＜4
∴-2＜k＜2…②（13分）
故由①②得或（15分）