Question

如图，在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是AB和BC的中点，EF与BD相交于点H，M为BB₁中点．
①求二面角B₁-EF-B的大小；
②求证：D₁M⊥平面B₁EF；
③求点D₁到平面B₁EF的距离．

Answer

①连接B1H，由等腰三角形“三线合一”的性质可得EF⊥BH，由正方体的几何特征，可得B1H⊥EF，则∠B1HB是二面角B1-EF-B的平面角，解三角形B1HB，即可得到二面角B1-EF-B的大小．
②由BD⊥EF，D1M在平面ABCD的射影为BD，由三垂线定理可得D1M⊥EF，连接A1M，易证得D1M⊥B1E，由线面垂直的判定定理，可得D1M⊥平面B1EF；
③由②中结论可得D1N⊥平面B1EF，则D1N的长即为D1到平面B1EF的距离，连接B1D1，解Rt△B1D1M即可得到D1N的长，进而得到点D1到平面B1EF的距离．
【解析】
①连接B1H，∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF⊥BH
又BB1⊥平面ABCD，∴BH是B1H在平面ABCD的射影，∴B1H⊥EF
∴∠B1HB是二面角B1-EF-B的平面角--------------------------------------------2′
显然tan∠B1HB=-----------------------------4′
∴∠B1HB=arctan
即二面角B1-EF-B的大小为arctan-------------------------------------------5′
②∵D1M在平面ABCD的射影为BD又BD⊥EF，∴D1M⊥EF--------------------7′
连接A1M，D1M在平面A1ABB1的射影为A1M
由△A1M B1≌△B1BE知A1M⊥B1E
∴D1M⊥B1E----------------------------------------------------------------------------------9′
又B1E∩EF=E，∴D1M⊥平面B1EF---------------------------------------------------10′
（若用向量法证，相应给分）
③设B1H∩D1M于N，由②知D1N⊥平面B1EF
∴D1N的长即为D1到平面B1EF的距离
连接B1D1，则在Rt△B1D1M中
D1N=-----------------------------------------------------14′