Question

（理）线段AB过x轴正半轴上一点M（m，0）（m＞0），端点A、B到x轴的距离之积为3m．以x轴为对称轴，过A、O、B作抛物线，
（1）求抛物线方程；
（2）若直线AB的斜率为，求当0＜m＜3时，tan∠AOB的取值范围．

Answer

（1）由于线段AB过x轴正半轴上一点M（m，0），可设方程为x-m=ty．假设抛物线方程为y2=2px（p＞0），联立消去x得y2-2pty-2pm=0，利用根与系数的关系及端点A、B到x轴的距离之积为3m，可求抛物线的方程．
（2）用A，B的坐标表示出tan∠AOB得到m的函数，再根据0＜m＜3，可确定tan∠AOB的取值范围．
【解析】
（1）设抛物线方程为y2=2px（p＞0），A（x1，y1），B（x2，y2），（y1＞0，y2＜0）．
由已知得y1y2=-3m．再设AB方程为：x-m=ty．
由得y2-2pty-2pm=0∴y1y2=-3m=-2pm，∴2p=3，所求抛物线方程为y2=3x-------------------------6′
（2）由（1）（7），，t=2，y1，y2是方程y2-6y-3m=0（11）的两根，
所以y1+y2=6，∴y1y2=-3m，
==-------------10′
令s=m-3，则-3＜s＜0，设，
又∴，∴tan∠AOB＜-2----------------------------14′