Question

已知函数f（x）（x∈R）的一段图象如图所示，f′（x）是函f（x）（数的导函数，且y=f（x+1）是奇函数，给出以下结论：
①f（1-x）+f（1+x）=0；
②f′（x）（x-1）≥0；
③f（x）（x-1）≥0；
④f（x）+f（-x）=0
其中一定正确的是（ ）

A．①③
B．②
C．②③
D．①

Answer

y=f（x+1）是奇函数，y=f（x+1）的图象关于原点对称y=f（x）的图象关于（1，0）对称．f（1-x）+f（1+x）=0，故①正确，④不正确，根据函数的单调性和函数的值得到②③不正确．
【解析】
∵y=f（x+1）是奇函数，
∴y=f（x+1）的图象关于原点对称，
∴y=f（x）的图象关于（1，0）对称．
∴f（1-x）+f（1+x）=0，故①正确，④不正确，
∵f′（x）是函f（x）的导函数．
函数的图象是单调递增的，
∴f′（x）恒大于0，
∴f′（x）（x-1）≥0不正确，即②不正确，
f（x）（x-1）≥0不正确，
综上可知只有①正确，
故选D．