Question

已知函数f（x）=x³+mx²+nx-2的图象过点（-1，-6），且函数g（x）=f'（x）+6x的图象的对称轴为y轴
（I）求函数y=f（x）的解析式及它的单调递减区间
（II）若函数y=f（x）的极小值在区间（a-1，a+1）内，求a的取值范围．

Answer

（1）由函数f（x）得图象过（-1，-6）可得m-n=-3，则g（x）=f'（x）+6x=3x2+（2m+6）x+n为偶函数可求m
由f'（x）＜0可求y=f（x）的单调递减区间
（2）由f'（x）=0可得x=0或x=2，由函数y=f（x）的极小值在区间（a-1，a+1）内可得-6∈（a-1，a+1），从而可求a得范围
【解析】
（1）将点（-1，-6）代入，得m-n=-3…（2分）g（x）=f'（x）+6x=3x2+（2m+6）x+n，
由题意得：m=0或m=-3…（4分）
所以f（x）=x3-3x2-2，f'（x）=2x（x-2）＜0⇒0＜x＜2，
故y=f（x）的单调递减区间是（0，2）…（8分）
（2）由f'（x）=0可得x=0或x=2

x （-∞，0） （0，2） 2 （2，+∞）
f'（x） + - +
f（x） 增 极大值-2 减 极小值-6 增

…（10分）
由题意得：…（12分）