Question

已知函数．定义函数f（x）与实数m的一种符号运算为m⊗f（x）=f（x）•[f（x+m）-f（x）]．
（1）求使函数值f（x）大于0的x的取值范围；
（2）若，求g（x）在区间[0，4]上的最大值与最小值；
（3）是否存在一个数列{a_n}，使得其前n项和．若存在，求出其通项；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）函数值f（x）大于0的x的取值范围通过解不等式函数＞0求出即可．
（2）根据题设中的定义，将g（x）计算化简并整理，应得出g（x）=，再利用导数求出g（x）在区间[0，4]上的最大值与最小值
（3）由（2）得=，转化为利用数列中an与 Sn关系求数列通项．
【解析】
（1）由f（x）＞0，得，…（1分）
即2x2-12x-3＞0，解得或．
所以，x的取值范围为 ．…（3分）
（2）====．…（5分）
对g（x）求导，得g'（x）=6x2-21x+9=3（x-3）（2x-1）．
令g'（x）=0，解得或x=3．…（6分）
当x变化时，g'（x）、g（x）的变化情况如下表：

x 3 （3，4） 4
g'（x） + - +
g（x） 3 ↗ ↘ ↗ -1

所以，g（x）在区间[0，4]上的最大值为，最小值为．…（10分）
（3）存在．
由（2）得=．…（11分）
当n≥2时，=
当n=1时，．…（13分）
所以，．…（14分）