Question

已知命题：
①已知正项等比数列{a_n}中，不等式a_n+1+a_n-1≥2a_n（n≥2，n∈N^*）一定成立；
②若F（n）=（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）（n∈N^*），则F（1）=2，F（2）=24；
③已知数列{a_n}中，a_n=n²+λn+1（λ∈R）．若λ＞-3，则恒有a_n+1＞a_n（n∈N^*）；
④公差小于零的等差数列{a_n}的前n项和为S_n．若S₂₀=S₄₀，则S₃₀为数列{S_n}的最大项；以上四个命题正确的是    （填入相应序号）

Answer

由正项等比数列{an}中，an+1，an，an-1（n≥2，n∈N*）成等差数列，知an+1+an-1=2an（n≥2，n∈N*）；由F（n）=（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）（n∈N*），知F（1）=1+1=2，F（2）=（2+1）（2+2）=12≠24；由λ＞-3知an+1-an=[（n+1）2+λ（n+1）+1]-（n2+λn+1）=2n+1+λ＞0；由公差小于零的等差数列{an}的前n项和为Sn．S20=S40，知20d=40，，所以=-450d，由d＜0，知S30为数列{Sn}的最大项．
【解析】
∵正项等比数列{an}中，an+1，an，an-1（n≥2，n∈N*）成等差数列，
∴an+1+an-1=2an（n≥2，n∈N*），
∴不等式an+1+an-1≥2an（n≥2，n∈N*）一定成立．
故①正确；
∵F（n）=（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）（n∈N*），
∴F（1）=1+1=2，
F（2）=（2+1）（2+2）=12≠24，
故②不正确；
∵λ＞-3
∴an+1-an=[（n+1）2+λ（n+1）+1]-（n2+λn+1）=2n+1+λ＞0，
∴若λ＞-3，则恒有an+1＞an（n∈N*），
故③正确；
公差小于零的等差数列{an}的前n项和为Sn．
若S20=S40，
则20d=40，
∴，

=
=-450d，
∵d＜0，
∴S30为数列{Sn}的最大项．
故④正确．
故答案为：①③④．