Question

已知数列）．
（1）求a₂，a₃；并数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=；
（3）设c_n=．

Answer

（1）由题设条件易求得a2，a3；观察发现此递推式可以变形为，由此可构造出一个新数列是一个公比为2的等比数列，求得此数列的通项，即可得到数列{an}的通项公式；
（2）由（1）的结论可得bn=，观察此数列的通项公式，知此数列可以用错位相减法求和；
（3）由cn=，可得cn=，由于要证，故可以用放大的方法寻求证明的不等式；
【解析】
（1）∵a1=2，）
∴a2=16，a3=72
又为等比数列
∴
（2）bn=
∴Sn=1•21+2•22+3•23+…+（n-1）•2n-1+n•2n
2Sn=1•22+2•23+3•24+…+（n-1）•2n+n•2n+1
∴-Sn=21+22+23+…+2n-n•2n+1=2n+1-2-n•2n+1
∴Sn=（n-1）•2n+1+2
（3）cn=
∴c1+c2+c3+…+cn
=
＜]
=
＜
=
所以结论成立