Question

已知函数f（x）=x³+ax²+x+1（a∈R）
（1）若f（x）是R上的单调函数，求a的取值范围；   
（2）若x=1是f（x）的一个极值点，求f（x）在x∈[t，1]（t＜1）上的最小值．

Answer

（1）先求导函数，然后根据f（x）是R上的单调函数，则f'（x）≥0恒成立，然后利用判别式建立不等关系，解之即可；
（2）根据x=1是f（x）的一个极值点则f'（1）=0求出a的值，然后利用导数研究该函数的单调性，讨论t的范围，从而求出函数的最小值．
【解析】
（1）f'（x）=3x2+2ax+1，
∵f（x）是R上的单调函数
∴f'（x）≥0恒成立即△=4a2-12≤0
解得-≤a≤
（2）∵x=1是f（x）的一个极值点
∴f'（1）=4+2a=0即a=-2
∴f'（x）=3x2-4x+1=（3x-1）（x-1）＞0
解得x＜或x＞1
f'（x）＜0解得＜x＜1
故f（x）在（-∞，）上递增，在（，1）上递减，（1，+∞）上递增
又f（0）=f（1）=1
∴f（x）min=