Question

已知f（x）是一次函数，且f（0）=3，f（1）=5．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若当-2≤x≤1时，函数f（x）+3tx+t＞0恒成立，求实数t的取值范围．

Answer

（1）根据函数是一次函数，则设出其解析式，再由条件代入求解．
（2）当-2≤x≤1时，函数f（x）+3tx+t＞0恒成立，可转化为（3t+2）x+t+3＞0在-2≤x≤1上恒成立，构造函数g（x）=（3t+2）x+t+3，知g（x）的图象在-2≤x≤1上是一条线段，因此有，从而
可求实数t的取值范围．
【解析】
（1）设f（x）=kx+b（k≠0）（2分）
由（6分）
（2）由f（x）+3tx+t＞0在-2≤x≤1上恒成立，
得（3t+2）x+t+3＞0在-2≤x≤1上恒成立（8分）
令g（x）=（3t+2）x+t+3，知g（x）的图象在-2≤x≤1上是一条线段，
只需线段的两端点在x轴的上方（10分）
因此要（3t+2）x+t+3＞0在-2≤x≤1上恒成立，
只要：（12分）
得：（14分）