Question

已知实数x，y满足x≥1，y≥1，（log_ax）²+（log_ay）²=log_a（ax²）+log_a（ay²），当a＞1时，求log_a（xy）的取值范围．

Answer

先利用对数运算性质将已知对数等式变形为关于logax，logay的等式，再利用换元法及均值定理将等式转化为不等式，解不等式即可得所求范围
【解析】
∵x≥1，y≥1，a＞1，
∴（logax）2+（logay）2=loga（ax2）+loga（ay2）可变形为
（logax）2+（logay）2=logaa+2logax+logaa+2logay，
即（logax）2+（logay）2-2logax-2logay-2=0，
即（logax+logay）2-2logax•logay-2（logax+logay）-2=0
设logax=m，logay=n，则m≥0，n≥0，且（m+n）2-2mn-2（m+n）-2=0，
即（m-1）2+（n-1）2=4（m≥0，n≥0）
令k=m+n，则n=-m+k，结合判别式法与代点法得
1+≤loga（xy）≤2+2
所以1+≤loga（xy）≤2+2