Question

（Ⅰ）已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：a（b²+c²）+b（a²+c²）+c（a²+b²）≥6abc
（Ⅱ）求证：．

Answer

（Ⅰ）先根据a2+b2≥2ab，c＞0得到c（a2+b2）≥2abc；同理可得b（a2+c2）≥2abc；a（b2+c2）≥2abc；再根据同向不等式可以相加的性质即可证明不等式．
（Ⅱ）采用分析法来证，先把不等式转化为：，两边平方，整理后得到一恒成立的不等式即可．
证明：（Ⅰ）∵a2+b2≥2ab，c＞0
∴c（a2+b2）≥2abc，
同理可得：b（a2+c2）≥2abc；
a（b2+c2）≥2abc．
上面三个不等式相加可得：a（b2+c2）+b（a2+c2）+c（a2+b2）≥6abc．
原命题得证．
（Ⅱ）要证：．
即证：，
只须证：11+2 ＜11+2
转化为证：＜
而上式恒成立．
所以原命题得证．