Question

已知集合A={x|x²-2x-15≥0}，B={x||x-2k|＜1}，
（Ⅰ）当A∩B=∅时，求实数k的取值范围；
（Ⅱ）当B⊆A时，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）是否存在实数k使A∪B=R，若存在，求k的取值范围，若不存在说明理由．

Answer

先根据一元二次不等式解法与绝对值不等式解法的结论，将集合A、B进行化简，得到A=（-∞，-3]∪[5，+∞），B=（2k-1，2k+1）
（I）若A∩B=∅，说明不存在元素x使x∈A且x∈B同时成立，因此有-3≤2k-1＜2k+1≤5，从而找到实数k的取值范围；
（II）若B⊆A成立，说明（2k-1，2k+1）是区间（-∞，-3]的子集，或（2k-1，2k+1）是区间[5，+∞）的子集，因此分两种情况加以讨论，可得实数k的取值范围；
（III）先假设存在实数k使A∪B=R，通过建立不等式组，得到k值既要小于或等于-1又要大于或等于2，出现矛盾，从而说明不存在满足条件的实数k．
【解析】
∵x2-2x-15≥0⇒（x-5）（x+3）≥0⇒x≤-3或x≥5
∴集合A={x|x2-2x-15≥0}=（-∞，-3]∪[5，+∞）
而|x-2k|＜1等价于-1＜x-2k＜1，可得2k-1＜x＜2k+1
∴集合B={x||x-2k|＜1}=（2k-1，2k+1）
（I）A∩B=∅，可得⇒-1≤k≤2；
∴实数k的取值范围是[-1，2]
（II）B⊆A，可得（2k-1，2k+1）⊆（-∞，-3]或（2k-1，2k+1）⊆[5，+∞）
①当（2k-1，2k+1）⊆（-∞，-3]时，2k+1≤-3，可得k≤-2
②当（2k-1，2k+1）⊆[5，+∞）时，2k-1≥5，可得k≥3
综上，实数k的取值范围是（-∞，-2]∪[3，+∞）；
（III）当且仅当时，A∪B=R成立
此时k≤-1且k≥2矛盾，所以不存在实数k使A∪B=R成立．