Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c的图象经过点（-1，3），（0，0），（2，0）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若∀x∈[0，3]，3t-t²-3≤f（x）≤12-t²成立，求t的取值范围．

Answer

（Ⅰ）将函数解析式假设成两点式，即f（x）=ax（x-2），再将（-1，3）代入，可得a=1，从而得到函数的解析式；
（Ⅱ）要使∀x∈[0，3]，3t-t2-3≤f（x）≤12-t2成立，只需要3t-t2-3≤f（x）min，且f（x）max≤12-t2即可．将函数配方f（x）=x（x-2）=（x-1）2-1，根据x∈[0，3]，可得f（x）min与f（x）max，从而建立不等式可求t的取值范围
【解析】
（Ⅰ）由题意，设f（x）=ax（x-2）
将（-1，3）代入，可得a=1
∴f（x）=x（x-2）
（Ⅱ）要使∀x∈[0，3]，3t-t2-3≤f（x）≤12-t2成立，只需要3t-t2-3≤f（x）min，且f（x）max≤12-t2即可．
∵f（x）=x（x-2）=（x-1）2-1，x∈[0，3]，
∴x=1时，f（x）min=-1，x=3时，f（x）max=3
∴3t-t2-3≤-1，且3≤12-t2
∴
∴-3≤t≤1或2≤t≤3．