Question

已知数列{a_n}满足如图所示的程序框图．
（Ⅰ）写出当n=1，2，3时输出的结果；
（Ⅱ）写出数列{a_n}的一个递推关系式，并证明：{a_n+1-3a_n}是等比数列；
（Ⅲ）求{a_n}的通项公式及前n项和S_n．

Answer

（I） 根据程序框图分别计算出当n=1，2，3时输出的结果；
（Ⅱ）由程序框图可直接得到数列{an}的一个递推关系式a1=1，a2=1，a n+2=5an+1-6an，将a n+2=5an+1-6an移向变形得出an+2-3an+1 =2（a n+1-3an），从而可证{an+1-3an}是等比数列；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可求出an+1-3an=-2 n两边同除以3n+1变形构造出，然后利用累积法可求出数列的通项，再利用等比数列求和公式可求出前n项和Sn．
【解析】
（Ⅰ）由程序框图可知，数列{an}的一个递推关系式a1=1，a2=1，a n+2=5an+1-6an
∴n=1时输出a3=5-6=-1，n=2时输出a4=5×（-1）-6=-11，n=3时输出a4=5×（-11）-6×（-1）=-49
（Ⅱ）数列{an}的一个递推关系式，a1=1，a2=1，a n+2=5an+1-6an；
则an+2-3an+1 =2（a n+1-3an），且a2-3a1=-2
∴数列{an+1-3an}是以-2为首项，2为公比的等比数列
（III）由（II）有an+1-3an=-2 n
∴
∴=+（-）+（-）+…+（-）（n≥2）
=-×-×-×
=-
∴an=2n-3n-1（n≥2）
当n=1时，也满足上式，故an=2n-3n-1
前n项和Sn=（2+22+23+…+2n）-（1+3+32+…+3n-1）=