Question

定义在R上的偶函数y=f（x）满足：
①对任意x∈R都有f（x+2）=f（x）+f（1）成立；
②f（0）=-1；
③当x∈（-1，0）时，都有f^′（x）＜0．
若方程f（x）=0在区间[a，3]上恰有3个不同实根，则实数a的取值范围是    ．

Answer

由已知中定义在R上的偶函数y=f（x）满足：①对任意x∈R都有f（x+2）=f（x）+f（1）成立；②f（0）=-1；我们易判断出函数为周期函数，及其零点的分布情况，然后根据方程f（x）=0在区间[a，3]上恰有3个不同实根，易求出实数a的取值范围．
【解析】
∵函数y=f（x）为偶函数，即f（1）=f（-1），
令x=-1，又由对任意x∈R都有f（x+2）=f（x）+f（1）成立；
则f（1）=f（-1）+f（1），故f（1）=f（-1）=0，
则f（x+2）=f（x）即函数是一个以2为周期的周期函数，
又∵当x∈（-1，0）时，都有f′（x）＜0．
故只有（2K+1，0）（k∈Z）为函数的零点，
若方程f（x）=0在区间[a，3]上恰有3个不同实根，
则三个实根分别为3，1，-1，
故a∈（-3，-1]，
故答案为：（-3，-1]．