Question

已知a，b都是正数，△ABC是平面直角坐标系xOy内，以两点A （ a，0 ）和B （ 0，b ）为顶点的正三角形，且它的第三个顶点C在第一象限内．
（1）若△ABC能含于正方形D={ （ x，y ）|0≤x≤1，0≤y≤1}内，试求 变量 a，b 的约束条件，并在直角坐标系aOb内内画出这个约束等条件表示的平面区域；
（2）当（ a，b ）在（1）所得的约束条件内移动时，求△ABC面积S的最大值，并求此时（a，b ）的值．

Answer

（1）由于△ABC是平面直角坐标系xOy内，以两点A （ a，0 ）和B （ 0，b ）为顶点的正三角形，得出顶点C是以A、B为圆心|AB|为半径的两圆在第一象限的交点，结合圆的方程解出C点的坐标，利用其在△ABC含于正方形D内，即可得出关于（a，b）的约束条件．其图形为右图的六边形；
（2）根据△ABC是边长为 的正三角形，当S取最大值等价于六边形图形中的点（ a，b ）到原点的距离最大，利用六边形中P、Q、R相应的OP、OQ、OR的计算即得．
【解析】
（1）顶点C是以A、B为圆心|AB|为半径的两圆在第一象限的交点，
由圆A：（ x-a）2+y2=a2+b2，圆B：x2+（ y-b ）2=a2+b2．
解得 x=，y=，
∴C（， ），
△ABC含于正方形D内，
即三顶点A，B，C含于区域D内时，
∴
这就是（a，b）的约束条件．其图形为右图的六边形，
∵a＞0，b＞0，∴图中坐标轴上的点除外．
（2）∵△ABC是边长为 的正三角形，
∴S= （ a2+b2）在（1）的条件下，
当S取最大值等价于六边形图形中的点（ a，b ）到原点的距离最大，
由六边形中P、Q、R相应的OP、OQ、OR的计算．
OP2=OR2=12+（ 2- ）2=8-4；OQ2=2（-1）2=8-4．
知：当 （ a，b ）=（ 1，2- ），或（-1，-1），或（ 2-，1 ）时，Smax=2-3．