Question

函数y=f（x），x∈[-5，5]的图象如图所示，该曲线在原点处的切线的方程为y=x，且导函数f′（x）是减函数．给出下列四个命题：
①A，B是该图象上的任意两点，那么直线AB的斜率k_AB∈（0，1）；
②点P是该图象在第一象限内的部分上的点，那么直线OP的斜率k_OP∈（0，1）；
③对于∀x₁，x₂∈[-5，5]，f（x₁）+f（x₂）≤2f（）恒成立；
④对于∀x∈[-5，5]，f（x）≤x．
其中所有真命题的序号是（ ）

A．①②③
B．②③④
C．②④
D．①③

Answer

对于①A，B是该图象上的任意两点，直线AB的斜率可以用AB中点对应的横坐标对应到图象上点的切线斜率近似代替，根据函数的导数是一个减函数，知当x＜0时f′（x）＞f′（0）=1，故①不正确；再结合选项，说明应在B、C当中选一个，问题的焦点集中到③这个命题是否正确了．利用函数图象的凹凸性不难发现命题③是正确的，这样就可以选到正确答案了．
【解析】
先看命题①：若A，B是该图象上的任意两点，直线AB的斜率可以用AB中点对应的横坐标对应到图象上点的切线斜率近似代替，
由已知条件曲线在原点处的切线的方程为y=x，说明f′（0）=1，再根据函数的导数是一个减函数知
当x＜0时f′（x）＞f′（0）=1，说明存在-5＜x＜0时直线AB的斜率kAB＞1，故①不正确；
再结合选项：只有B、C当中没有认为①正确，说明应在B、C当中选一个，
问题的焦点集中到③这个命题是否正确了．
利用函数图象的凹凸性：函数f（x）是一个凸函数，说明满足不等式：
对照一下命题③，说明命题③是正确的，因此可得正确答案为②③④．
故选B