Question

已知数列{a_n}满足a₁=a₂=2，a₃=3，a_n+2=（n≥2）
（Ⅰ）求a₄，a₅；
（Ⅱ）是否存在实数λ，使得数列{a_n+1-λa_n}（n∈N^*）是等差数列？若存在，求出所有满足条件的λ的值；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）设b_n=a_n+2-μa_n+1（n∈N^*），若数列{b_n}是等比数列，求实数μ的值．

Answer

（Ⅰ）根据题意，由数列{an}的递推公式，依次计算可得答案；
（Ⅱ）假设存在实数λ，使得数列{an+1-λan}（n∈N*）是等差数列，由等差数列的性质可得2（a3-λa2）=（a2-λa1）+（a4-λa3），解得λ=1；将λ=1代入可得2（a5-a4）≠（a4-a3）-（a3-a2），产生矛盾，即可得答案；
（Ⅲ）根据题意中bn=an+2-μan+1（n∈N*），表示出b1，b2，b3三项，又由{bn}是等比数列，可得b1×b3=b22，即（3-2μ）（8-5μ）=（5-3μ）2，解可得答案．
【解析】
（I）a4===5
a5===8
（II）假设存在实数λ，使得数列{an+1-λan}（n∈N*）是等差数列，
则2（a3-λa2）=（a2-λa1）+（a4-λa3），
解得λ=1
由a3=3，a4=5，a5=8，a6=13得2（a5-a4）≠（a4-a3）-（a3-a2），
与数列{an+1-an}（n∈N*）是等差数列矛盾
故不存在实数λ，使数列{an+1-λan}（n∈N*）是等差数列
（III）根据题意，可得a1=a2=2，a3=3，a4=5，a5=8，
则b1=a3-μa2=3-2μ，b2=a4-μa3=5-3μ，b3=a5-μa4=8-5μ，
若数列{bn}是等比数列，则b1×b3=b22，即（3-2μ）（8-5μ）=（5-3μ）2，
解可得μ=．