Question

已知：a，b，c，d∈R．
（Ⅰ）求证：（ac-bd））²≥（a²-b²）（c²-d²）
（Ⅱ）若点P（）在直线ax-by-2=0上，求证：a²-b²≤4．

Answer

（Ⅰ）先根据（ad-bc）2≥0，得到a2d2-2abcd+b2c2≥0，即可得到a2c2+b2d2-2abcd≥a2c2-a2d2-b2c2+b2d2，整理即可得到结论；
（Ⅱ）先根据点P（）在直线ax-by-2=0上，得到a-btanα-2=0，即a-btanα=2；再结合上一问的结论即可得证．
证明：（Ⅰ）因为（ad-bc）2≥0，
所以a2d2-2abcd+b2c2≥0，
所以a2c2+b2d2-2abcd≥a2c2-a2d2-b2c2+b2d2，
所以（ac-bd）2≥（a2-b2）（c2-d2）．
（Ⅱ）因为点P（）在直线ax-by-2=0上，
所以a-btanα-2=0，
可得：a-btanα=2．
由（Ⅰ）可知，（a2-b2）[]=a2-b2．
所以a2-b2≤4．