Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）证明：．

Answer

（I）数列的递推公式求数列的通项公式，根据等比数列的定义，只要证明an+1+1=2（an+1），从而可求数列{an}的通项公式；
（II）根据数列的通项公式得，再对其进行适当的放缩即可．
【解析】
（I）∵an+1=2an+1（n∈N*），∴an+1+1=2（an+1），
∴{an+1}是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列．∴an+1=2n．
即an=2n-1（n∈N*）．
（II）证明：∵，
∴．
∵，
∴，
∴．