Question

已知a∈R，函数f（x）=xln（-x）+（a-1）x．
（Ⅰ）若f（x）在x=-e处取得极值，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[-e²，-e^-1]上的最大值g（a）．

Answer

（I）先对函数y=f（x）进行求导，然后令导函数大于0（或小于0）求出x的范围，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可得到答案．
（II）先研究f（x）在区间[-e2，-e-1]上的单调性，再利用导数求解f（x）在区间[-e2，-e-1]上的最大值问题即可，故只要先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值即得．
【解析】
（Ⅰ）f'（x）=ln（-x）+a，（2分）
由题意知x=-e时，f'（x）=0，即：f'（-e）=1+a=0，
∴a=-1（3分）
∴f（x）=xln（-x）-2x，f'（x）=ln（-x）-1
令f'（x）=ln（-x）-1=0，可得x=-e
令f'（x）=ln（-x）-1＞0，可得x＜-e
令f'（x）=ln（-x）-1＜0，可得-e＜x＜0
∴f（x）在（-∞，-e）上是增函数，在（-e，0）上是减函数，（6分）
（Ⅱ）f'（x）=ln（-x）+a，
∵x∈[-e2，-e-1]，
∴-x∈[e-1，e2]，
∴ln（-x）∈[-1，2]，（7分）
①若a≥1，则f'（x）=ln（-x）+a≥0恒成立，此时f（x）在[-e2，-e-1]上是增函数，
fmax（x）=f（-e-1）=（2-a）e-1（9分）
②若a≤-2，则f'（x）=ln（-x）+a≤0恒成立，此时f（x）在[-e2，-e-1]上是减函数，
fmax（x）=f（-e2）=-（a+1）e2（11分）
③若-2＜a＜1，则令f'（x）=ln（-x）+a=0可得x=-e-a
∵f'（x）=ln（-x）+a是减函数，
∴当x＜-e-a时f'（x）＞0，当x＞-e-a时f'（x）＜0
∴f（x）在（-∞，-e）[-e2，-e-1]上左增右减，
∴fmax（x）=f（-e-a）=e-a，（13分）
综上：（14分）