Question

已知函数f（x），如果存在给定的实数对（a，b），使得f（a+x）•f（a-x）=b恒成立，则称f（x）为“S-函数”．
（1）判断函数f₁（x）=x，f₂（x）=3^x是否是“S-函数”；
（2）若f₃（x）=tanx是一个“S-函数”，求出所有满足条件的有序实数对（a，b）；
（3）若定义域为R的函数f（x）是“S-函数”，且存在满足条件的有序实数对（0，1）和（1，4），当x∈[0，1]时，f（x）的值域为[1，2]，求当x∈[-2012，2012]时函数f（x）的值域．

Answer

（1）假设是S-函数，列出方程恒成立，通过判断方程的解的个数判断出f1（x）不是，对于f2（x）对于列出方程恒成立．
（2）据题中的定义，列出方程恒成立，通过两角和差的正切公式展开整理，令含未知数的系数为0，求出a，b．
（3）利用题中的新定义，列出两个等式恒成立；将x用2+x代替，两等式结合得到函数值的递推关系；用不完全归纳的方法求出值域．
【解析】
（1）若f1（x）=x是“S-函数”，则存在常数（a，b），使得（a+x）（a-x）=b．
即x2=a2-b时，对x∈R恒成立．而x2=a2-b最多有两个解，矛盾，
因此f1（x）=x不是“S-函数”．（3分）
若f2（x）=3x是“S-函数”，则存在常数a，b使得3a+x•3a-x=32a，
即存在常数对（a，32a）满足．
因此f2（x）=3x是“S-函数”（6分）
（2）f3（x）=tanx是一个“S-函数”，设有序实数对（a，b）满足：
则tan（a-x）tan（a+x）=b恒成立．
当a=时，tan（a-x）tan（a+x）=-cot2（x），不是常数．（7分）
因此，，
则有．
即（b•tan2a-1）tan2x+（tan2a-b）=0恒成立．（9分）
即，
当，时，tan（a-x）tan（a+x）=cot2（a）=1．
因此满足f3（x）=tanx是一个“S-函数”的常数（a，b）=．（12分）
（3）函数f（x）是“S-函数”，且存在满足条件的有序实数对（0，1）和（1，4），
于是f（x）•f（-x）=1，f（1+x）•f（1-x）=4，
即f（1+x）•f（1-x）=4⇔f（x）f（2-x）=4，x∈[1，2]时，2-x∈[0，1]，，
∴x∈[0，2]时，f（x）∈[1，4]．（14分）．（16分）
因此x∈[0，2012]时，f（x）∈[1，22012]，（17分）．
综上可知当x∈[-2012，2012]时函数f（x）的值域为[2-2012，22012]．（18分）