Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD．底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB．点E在棱PA上，．
（1）求异面直线PA与CD所成的角；
（2）点E在棱PA上，且，当λ为何值时，有PC∥平面EBD；
（3）在（2）的条件下求二面角A-BE-D的平面角的余弦值．

Answer

（1）以点B为坐标原点，以BA为x轴，以BC为y轴，以BP为z轴，建立空间直角坐标至B-xyz，根据条件求出 和 ，然后求出这两个向量的所成角即为异面直线CD与PA所成的角；
（2）要使PC∥平面EBD，只需垂直于面BDE的一个法向量，利用向量法可求；
（3）先求平面EBD的法向量与平面ABE的法向量，然后利用向量的夹角公式求出此角的余弦值即二面角A-BE-D的大小的余弦值．
解析：由PB⊥底面ABCD得PB⊥AB，PB⊥BC，以分别为x，y，
z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设AB=2，则B（0，0，0），A（2，0，0），D（2，2，0），
由PB⊥底面ABCD，PB⊥CD，CD⊥PD，PD∩PB=P，CD⊥面PBD，CD⊥BD，所以△CDB为等腰直角三角形，故，
∴C（0，4，0），P（0，0，2），（3分）
（1），，
∴，故异面直线PA与CD所成的角为60°；                                                                    （7分）
（2），∴，∴，，
设面BDE的一个法向量为，，
令，
要使PC∥平面EBD，则必须有，∴-4+2λ=0，λ=2，所以当λ=2时PC∥平面EBD．     （11分）
（3），，
∴二面角A-BE-D的平面角的余弦值为．                                        （15分）