Question

椭圆C：的两个焦点F₁（-c，0）、F₂（c，0），M是椭圆C上一点，且满足．
（1）求椭圆的离心率e的取值范围；（2）设O为坐标原点，P是椭圆C上的一个动点，试求的取值范围．

Answer

（1）在△MF1F2中，根据余弦定理得4a2-3MF1•MF2=4c2，则3MF1•MF2=4a2-4c2结合基本不等式即可求得，当且仅当MF1=MF2=a时，a2≤4c2从而求椭圆的离心率e的取值范围．
（2）令OP=m，结合椭圆的定义由余弦定理可得（PF1-PF2）2=4（m2+c2-a2），得到最后利用放缩法即可求得t的取值范围是．
【解析】
（1）在△MF1F2中，MF12+MF22-2MF1•MF2cos∠F1MF2=4c2
即：（MF1+MF2）2-3MF1•MF2=4c2
即：4a2-3MF1•MF2=4c2，则3MF1•MF2=4a2-4c2，当且仅当MF1=MF2=a时，取等号
∴4a2-4c2≤3a2，即a2≤4c2
∴即（5分）
（2）令OP=m，则m∈[b，a]（10分）
又PF1+PF2=2a
在三角形O与三角形O中分别用余弦定理表示出PF12与PF22两式相加可得：PF12+PF22=2m2+2c2
则（PF1-PF2）2=4（m2+c2-a2）
∴
∵m∈[b，a]，∴
即，
∴t的取值范围是．     （16分）