Question

已知函数f（x）=a^x-的反函数f^-1（x）的图象过点（-1，2），且函数f（x）为减函数．
（1）求y=f^-1（x）的解析式；
（2）求满足f^-1（2x）＞f^-1（x²+1）的x的取值范围．

Answer

（1）由题意可得函数f（x）的图象过点（2，-1），解得a的值，求出函数f（x）的解析式，从而得到 f-1（x）的解析式．
（2）由f-1（2x）＞f-1（x2+1）可得，，由此求出x的取值范围．
【解析】
（1）∵反函数f-1（x）的图象过点（-1，2），
故函数f（x）的图象过点（2，-1），∴-1=a2-，解得a=3，或a=．
又f（x）为减函数，∴a=，所以f（x）=-，f（x）＞-．
所以f-1（x）=（x+），（x＞-）．
（2）由f-1（2x）＞f-1（x2+1），可得，解得．
故满足f-1（2x）＞f-1（x2+1）的x的取值范围是{x|x＞-且x≠1}．