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如图是边长为1的正三角形ABC沿垂直于平面ABC的方向平移距离1所得的图形,M是...

如图是边长为1的正三角形ABC沿垂直于平面ABC的方向平移距离1所得的图形,M是底面BC边的中点.
(1)求二面角B1-AM-B的大小;
(2)证明:直线A1C∥平面MAB1
(3)求直线A1C到平面MAB1的距离.

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(1)先找出二面角B1-AM-B的平面角.根据△ABC是正三角形,M是BC边的中点,可得AM⊥BC,利用BB1⊥底面ABC,所以B1M⊥AM,从而∠B1MB为二面角B1-AM-B的平面角,故可求. (2)证明线面平行的关键是证明直线A1C平行于平面MB1A内的一条直线.设O是A1B与B1A的交点,证明A1C∥OM即可; (3)先证明平面MAB1⊥平面CB1,过点C作CE⊥B1M于E,则CE⊥平面MAB1,从而线段CE的长即直线A1C到平面MAB1的距离,由△CME∽△BMB1,即可求出直线A1C到平面MAB1的距离, (1)【解析】 依题意   ∵△ABC是正三角形,M是BC边的中点 ∴AM⊥BC, 又BB1⊥底面ABC,所以B1M⊥AM ∴∠B1MB为二面角B1-AM-B的平面角 在Rt△B1MB中,BB1=1,BM= ∴tan∠B1MB==2, ∴二面角B1-AM-B的大小等于arctan2. (2)证明:正三棱柱的侧面是正方形,设O是A1B与B1A的交点,则O是A1B的中点, 连接OM, ∵M是底面BC边的中点,所以A1C∥OM, ∵OM⊂平面MAB1,A1C⊄平面MB1A 所以直线A1C∥平面MB1A (3)【解析】 ∵AM⊥BC,AM⊥BB1,BC∩BB1=B ∴AM⊥平面CB1, ∵AM⊂平面MA B1 所以平面MAB1⊥平面CB1 过点C作CE⊥B1M于E,则CE⊥平面MAB1 ∵直线A1C∥平面MAB1, 所以线段CE的长即直线A1C到平面MAB1的距离, ∵∠B1BM=∠E,∠B1MB=∠CME ∴△CME∽△BMB1, ∴CE= ∴直线A1C到平面MAB1的距离
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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