Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1．
（1）求证：平面A₁B₁C₁⊥平面BB₁D₁D；
（2）求三棱锥B₁-A₁C₁B的体积；
（3）求异面直线BC₁与AA₁所成角的大小．

Answer

（1）通过证明A1C1⊥BB1，A1C1⊥D1B1，D1B1∩BB1=B 1，即可证明A1C1⊥平面BB1D1D．然后证明平面A1B1C1⊥平面BB1D1D；
（2）三棱锥B1-A1C1B的体积转化为求解即可；
（3）通过A1A∥B1B说明异面直线BC1与AA1所成角就是∠BB1C1，然后求解即可．
证：（1）正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1⊥平面A1B1C1D1，
∵A1C1⊂平面-A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1即A1C1⊥BB1，
又∵A1C1⊥D1B1，D1B1∩BB1=B 1，∴A1C1⊥平面BB1D1D，
∵A1C1⊂平面A1B1C1，平面A1B1C1⊥平面BB1D1D．
（2）三棱锥B1-A1C1B的体积转化为：，
==．
（3）∵A1A∥B1B，∴∠BB1C1就是异面直线BC1与AA1所成角．
易知△BB1C1为等腰三角形，∴∠BB1C1=45°．
即异面直线BC1与AA1所成角的大小为45°．