Question

已知函数f（x）=（x-k）e^x，
（1）求f（x）的单调区间；
（2）f（x）在区间[0，1]上的最小值为关于k 的函数g（k），求g（k）的解析式；
（3）判断g（k）的单调性．

Answer

（1）f′（x）=（x-k+1）ex，令f′（x）=0，得x=k-1．由此能求出f（x）的单调区间．
（2）当k-1≤0时，函数f（x）在区间[0，1]上递增，f（x）min=f（0）=-k；当1＜k≤2时，函数f（x）在区间[0，k-1]上递减，（k-1，1]上递增，；当k＞2时，函数f（x）在区间[0，1]上递减，f（x）min=f（1）=（1-k）e．由此能求出g（k）．
（3）当k≤1时，g（k）=-k，是减函数；当1＜k≤2时，g（k）=-ek-1，是减函数；当k＞2时，g（k）=（1-k）e，是减函数．由此知g（k）在（-∞，+∞）内单调递减．
【解析】
（1）f′（x）=（x-k+1）ex，令f′（x）=0，得x=k-1；
所以f（x）在（-∞，k-1）上递减，在（k-1，+∞）上递增；
（2）当k-1≤0，即k≤1时，函数f（x）在区间[0，1]上递增，所以f（x）min=f（0）=-k；
当0＜k-1≤1，即1＜k≤2时，由（I）知，函数f（x）在区间[0，k-1]上递减，（k-1，1]上递增，所以；
当k-1＞1，即k＞2时，函数f（x）在区间[0，1]上递减，所以f（x）min=f（1）=（1-k）e．
综上g（k）=．
（3）当k≤1时，g（k）=-k，是减函数；
当1＜k≤2时，g（k）=-ek-1，是减函数；
当k＞2时，g（k）=（1-k）e，是减函数．
∴g（k）在（-∞，+∞）内单调递减．