Question

已知双曲线，过B（1，1）能否作直线l，使l与双曲线交于P，Q两点，且B是线段PQ的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．

Answer

先假设存在这样的直线l，分类讨论：斜率存在和斜率不存在设出直线l的方程，①当k存在时，与双曲线方程联立，消去y，得到关于x的一元二次方程，直线与双曲线相交于两个不同点，则△=（2k2-2k）2-4（2-k2）（-k2+2k-3）＞0，可求k的范围，再由M是线段AB的中点，则=1，可求k，看是否矛盾，②当k不存在时，直线经过点M但不满足条件，故符合条件的直线l不存在，综合可求
【解析】
设过点B（1，1）的直线方程为y=k（x-1）+1或x=1
（1）当k存在时有
得（2-k2）x2+（2k2-2k）x-k2+2k-3=0 （1）
当直线与双曲线相交于两个不同点，则必有△=（2k2-2k）2-4（2-k2）（-k2+2k-3）＞0，
∴k＜
设P（x1，y1），Q（x2，y2）
∴x1+x2= 又B（1，1）为线段AB的中点
∴=1 即
∴k=2
当k=2，使2-k2≠0但使△＜0
因此当k=2时，方程（1）无实数解
故过点m（1，1）与双曲线交于两点A、B且M为线段AB中点的直线不存在．
（2）当x=1时，直线经过点M但不满足条件，
综上，符合条件的直线l不存在