Question

已知x=-是函数f（x）=ln（x+1）-x+x²的一个极值点．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．

Answer

（Ⅰ）先求导函数，再利用x=-是函数f（x）的一个极值点，即f′（-）=0，从而可求a的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f′（x）=+2x-1，从而可求y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率k=，进而可求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．
【解析】
（Ⅰ）f（x）=ln（x+1）-x+x2，
∴f′（x）=-1+ax
∵x=-是函数f（x）的一个极值点．
∴f′（-）=0，
∴2-1-=0，故a=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f′（x）=+2x-1
从而曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率k=，又f（1）=ln2，
故曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=x+ln2-．