Question

设p为常数，函数f（x）=log₂（1-x）+plog₂（1+x）为奇函数．
（1）求p的值；（2）设，求x的值；
（3）若f（x）＞2，求x的取值范围．

Answer

（1）求出函数的定义域，根据函数是奇函数，f（x）+f（-x）=0对x∈（-1，1）恒成立，可构造关于p的方程，进而求出p的值；
（2）根据（1）可得函数f（x）的解析式，进而根据关于x的方程，解方程可得x的值；
（3）根据（1）可得函数f（x）的解析式，构造关于x的不等式，解不等式可得x的取值范围．
【解析】
（1）若函数的解析式有意义，
则函数f（x）的定义域为（-1，1）…（2分）
因为f（x）是奇函数，
所以f（x）+f（-x）=0对x∈（-1，1）恒成立，
log2（1-x）+plog2（1+x）+log2（1+x）+plog2（1-x）=0对x∈（-1，1）恒成立，
即（p+1）[log2（1-x）+log2（1+x）]=0对x∈（-1，1）恒成立，
即（p+1）log2（1-x2）=0对x∈（-1，1）恒成立，
故p+1=0
所以p=-1．…（6分）
（2）由（1）可得f（x）=log2（1-x）-log2（1+x），
则=log2（1-）-log2（1+）+log2（1-）-log2（1+）
=log2（）-log2（）+log2（）-log2（）
=log2（÷×÷）=log2（）
f（x）=log2（1-x）-log2（1+x）=log2（），
故=
解方程得…（10分）
（3）f（x）=log2（1-x）-log2（1+x），
则f（x）＞2等价于，
解得：，
所以x的取值范围是．…（14分）