Question

已知f（x）=ax²+4x+1（a＜0），当x∈[0，t]（t＞0）时，|f（x）|的最大值为3，
（1）当a=-1时，求t的值；           
（2）求t关于a的表达式g（a）；
（3）求g（a）的最大值．

Answer

（1）当a=-1时，f（x）=-x2+4x+1．又对称轴是x=2，而f（2）=5，判断出0＜t＜2，由f（x）=3求解．
（2）在（1）的基础上，由特殊到一般：将f（x）配方得出，分，两类求解．
（3）按照分段函数求最值的方法，逐段求最大值，再“大中取大”得出g（a）的最大值．
【解析】
（1）当a=-1时，f（x）=-x2+4x+1，
因为f（0）=1＞0，令-x2+4x+1=3得：
又对称轴是x=2，而f（2）=5＞3，所以t=…（4分）
（2）
（ⅰ）当时，即a∈（-2，0）时，
令ax2+4x+1=3得：
此时，g（a）=．…（7分）
（ⅱ）当时，即a∈（-∞，-2]时，
令ax2+4x+1=-3得：
此时，g（a）=．
综上：当a∈（-2，0）时，g（a）=．
当a∈（-∞，-2]时，g（a）=．
（3）（ⅰ）a∈（-∞，-2]时，g（a）===…（13分）
（ⅱ）a∈（-2，0）时，g（a）===
因为，所以g（a）的最大值为．…（16分）