Question

已知函数f（x）=lnx-ax²+bx（a＞0）且f′（1）=0．
（Ⅰ）试用含a式子表示b；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若a=2，试求f（x）在区间[c，c+]（c＞0）上的最大值．

Answer

（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），由，知f′（1）=1-a+b=0，由此得到b=a-1．
（Ⅱ）将b=a-1代入，得．当f′（x）＞0时，，由x＞0，得（ax+1）（x-1）＜0，由此能求出f（x）的单调区间．
（Ⅲ）当时，f（x）在[c，c+]上单调递增．所以=ln（c+）+．由此能求出f（x）在区间[c，c+]（c＞0）上的最大值．
【解析】
（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），…（2分）
∵，f′（1）=1-a+b=0，
得：b=a-1．…（4分）
（Ⅱ）将b=a-1代入，
得
=-．…（6分）
当f′（x）＞0时，，
由x＞0，得（ax+1）（x-1）＜0，
∵a＞0，
∴0＜x＜1，即f（x）在（0，1）上单调递增，
当f′（x）＜0时，-，
由x＞0，得（ax+1）（x-1）＞0，
∵a＞0，∴x＞1，
即f（x）在（1，+∞）上单调递减．
∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．…（9分）
（Ⅲ）当，即0＜c时，f（x）在[c，c+]上单调递增．
所以
=ln（c+）-（c+）2+c+
=ln（c+）+．…（11分）
当，即时，f（x）在[c，1]上单调递增，在[1，c+]上单调递减，
所以f（x）max=f（1）=0．…（13分）
当c≥1时，f（x）在[c，c+]上单调递减．
所以．…（15分）
综上：．