Question

已知函数f （ x ）=sinx-2x，若f（x²+y²+4x+2）≥0，则x²+y²+4y+2的最大值为（ ）
A．
B．3
C．12
D．16

Answer

由题意，需要先研究函数f （ x ）=sinx-2x，由于sinx-2x≤0在[0，+∞）上恒成立，可得f （ x ）=sinx-2x＞0在（-∞，0）上恒成立，由此解出x2+y2+4x+2≤0，此是一个圆面，而x2+y2+4y+2的最大值可以看作圆面上的点到定点（0，-2）的最远距离，由此求解方法转化求两点间的距离，计算出最大距离，选出正确选项
【解析】
由题意由于sinx-2x≤0在[0，+∞）上恒成立，可得f （ x ）=sinx-2x＞0在（-∞，0）上恒成立，
又f（x2+y2+4x+2）≥0
∴x2+y2+4x+2≤0，此是一个以点（-2，0）为圆心，以为半径的圆面
而x2+y2+4y+2的最大值可以看作圆面上的点到定点（0，-2）的最远距离的平方-2，
由于点（-2，0）与点（0，-2）距离为2，
故圆面上的点到定点（0，-2）的最远距离为3
所以x2+y2+4y+2的最大值为18-2=16
故选D