Question

已知函数，a∈R．
（1）当a=1时，求函数f（x）的最大值；
（2）如果对于区间上的任意一个x，都有f（x）≤1成立，求a的取值范围．

Answer

（1）结合函数解析式的结构特征对函数进行配方可得，进而得到函数的最大值．
（2）根据函数解析式的特征对函数进行配方可得，结合函数的定义域进行换元可得二次函数，即可利用二次函数的性质求出函数的最值，进而解决恒成立问题．
【解析】
（1）由题意可得：．
所以当时，函数f（x）的最大值是．
（2）．
当时，0≤cosx≤1，令t=cosx，则0≤t≤1．
，0≤t≤1．
当，即0≤a≤2时，则当，即时，
，
解得，
则；  
当，即a＜0时，则当t=0即cosx=0时，
，
解得，
则a＜0．
当，即a＞2时，则当t=1即cosx=1时，
，
解得，无解．
综上可知，a的取值范围．