Question

已知函数f（x）=e^x+2x²-3x．
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当时，若关于x的不等式恒成立，试求实数a的取值范围．

Answer

利用导数作为工具是解决本题的关键．
（1）利用导数与切线斜率之间的关系是写切线方程的前提，用直线方程的点斜式写出方程；
（2）将不等式恒成立问题转化为函数最值问题，用好分离变量的思想．
【解析】
（1）f'（x）=ex+4x-3，
则f'（1）=e+1，又f（1）=e-1，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程y-e+1=（e+1）（x-1），即y=（e+1）x-2．
（2）由，
得，
令，则g'（x）=ex+x
∵，g'（x）=ex+x＞0，故g（x）在x∈上单调递增，
∴．