Question

证明函数f（x）=x²e^x-1-x³-x²在区间（-∞，-2）内是减函数．

Answer

欲证函数在区间（-∞，-2）内是减函数，只需证明函数f（x）=x2ex-1-x3-x2在区间（-∞，-2）内的导数恒小于0即可．所以先求函数的导数，把导数因式分解，再判断每个因式的正负，进而判断导数的正负，就可证明．
【解析】
∵f（x）=x2ex-1- x3-x2
∴f'（x）=（x2）′ex-1+x2（ex-1）′-（x3）′-（x2）′=2xex-1+x2ex-1-x2-2x
=x2（ex-1-1）+2x（ex-1-1）=（ex-1-1）（x2+2x）
∵x∈（-∞，-2），∴x2+2x＞0，
又∵x∈（-∞，-2），∴x-1＜-3．
∴ex-1＜e-3，∴ex-1-1＜e-3-1＜0，
∴（ex-1-1）（x2+2x）＜0
即当x∈（-∞，-2）时，f'（x）＜0，
∴函数f（x）在（-∞，-2）内是减函数．