Question

如图，平面EAD⊥平面ABFD，△AED为正三角形，四边形ABFD为直角梯形，且∠BAD=90°，
AB∥DF，AD=a，AB=a，DF=．
（I）求证：EF⊥FB；
（II）求二面角A-BF-E的大小；
（Ⅲ）点P是线段EB上的动点，当∠APF为直角时，求BP 的长度．

Answer

（I）由图形知，连接OF，证明EF⊥FB可通过证明FB⊥平面EOF，利用线面垂直的性质证线线垂直；
（II）法一：由于平面EAD⊥平面ABCD，过点E向AD引垂线交AD于点O，连接OB，OF，延长DF到点C，使CD=AB，可证得∠EFO为二面角A-BF-E的平面角，在Rt△EOF中，求出此角；
法二：取AD的中点O，连接OE，则EO⊥AD，EO⊥平面ABCDD，建立如图所示的直角坐标系，设AD=a，给出图形中各点的用a表示的坐标，求出两平面EFB的法向量与平面ABCD的一个法向量，再由向量求夹角公式求出两平面的夹角；
（Ⅲ）由（II）中的法二，利用向量求解，可设，（0≤t≤1）用引入的参数t表示出的坐标，再由两向量垂直的条件建立关于t的方程，求出t的值即可得到符合条件的点P的位置，从而求BP 的长度
【解析】
（I）证明：连接OF，则，，，
所以OB2=OF2+FB2，即OF⊥FB．
又因为EO⊥FB，所以FB⊥平面EOF，得EF⊥FB．（3分）
方法一
（Ⅱ）∵平面EAD⊥平面ABCD，过点E向AD引垂线交AD于点O，连接OB，OF，延长DF到点C，使CD=AB，
则，，，
所以OB2=OF2+FB2，即∠EFO为二面角A-BF-E的平面角，
在Rt△EOF中，EO=OF，所以．    （6分）
方法二：（II ）取AD的中点O，连接OE，则EO⊥AD，EO⊥平面ABCDD，建立如图所示的直角坐标系，设AD=a，
则，则，
则，
所以，，
可求得平面EFB的法向量为，
平面ABCD的一个法向量为，
则二面角A-BF-E的大小为θ，，即二面角为．          （6分）
（Ⅲ）设，（0≤t≤1）则==，同理，，（8分）
=，
由=0，解得t=或，
所以BP=．（10分）