Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且3S_n=4a_n-4ⁿ⁺¹-4（n∈N^*），令．
（Ⅰ）求证：数列{b_n}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若f（n）=a_n-2（n∈N^*），用数学归纳法证明f（n）是18的倍数．

Answer

（Ⅰ） 由3Sn=4an-4n+1-4（n∈N*），得出当n≥2时，，两式相减，整理得出，易证明数列{bn}是等差数列．
（Ⅱ）f（n）=（3n+2）•4n-2，按照数学归纳法的步骤进行证明即可．
【解析】
（Ⅰ）当n=1时，，∴a1=20
当n≥2时，
∴
即
bn-bn-1=-=3
所以数列{bn}是以3为公差的等差数列，首项b1=
数列{bn}的通项公式为bn=5+（n-1）×3=3n+2．
得出an=（3n+2）•4n
（Ⅱ）f（n）=（3n+2）•4n-2
①当n=1时，f（1）=18，显然能被18整除；
②假设当n=k（k≥1）时，f（k）=（3k+2）•4k-2能被18整除，
则当n=k+1时，f（k+1）=（3k+3+2）•4k+1-2=4×（3k+2）•4k-2+3×4k+1
=（3k+2）•4k-2+12×4k+3×（3k+2）•4k
=（3k+2）•4k-2+（9k+18）•4k
=f（k）+9（k+2）•4k
∵k≥1，∴9（k+2）•4k能被18整除．
又f（k）能被18整除，∴f（k+1）能被18整除．
即 当n=k+1时 结论成立．
由①②知，当n∈N*时，f（n）是18的倍数．