Question

在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=2a_n-n+1，n∈N^*．
（1）证明数列{a_n-n}是等比数列；
（2）设S_n是数列{a_n}的前n项和，求使2S_n＞S_n+1的最小n值．

Answer

（1）先根据 a1-1=1≠0以及由an+1=2an-n+1整理得到的an+1-（n+1）=2（an-n），相比即可得到数列{an-n}是等比数列；
（2）先利用分组求和求出Sn；再代入求出2sn-sn+1的表达式，利用其大于0即可求出满足使2Sn＞Sn+1的最小n值．
（1）证明：由已知 a1-1=1≠0．
由 an+1=2an-n+1，
得an+1-（n+1）=2（an-n）
∴=2．
∴{an-n}是等比数列．
（2）【解析】
由（1）知：an-n=2n-1；
∴an=2n-1+n；
sn=（2+1）+（21+2）+（22+3）+…+（2n-1+n）
=（2+21+…+2n-1）+（1+2+3+…+n）
=+
=．
∴2sn-sn+1=2[]-[]
=
则n的最小值为3
使2Sn＞Sn+1的最小n值为：3．