Question

已知定义在R上恒不为0的函数y=f（x），当x＞0时，满足f（x）＞1，且对于任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）f（y）．
（1）求f（0）的值； 
（2）证明； 
（3）证明函数y=f（x） 是R上的增函数．

Answer

（1）可在恒等式中令x=y=0，即可解出f（0）=0，
（2）观察恒等式发现若令y=-x，则由f（x+y）=f（x）f（y），证明出f（0）=1=f（x）f（-x），则问题迎刃而解；
（3）由题设条件对任意x1、x2在所给区间内比较f（x2）-f（x1）与0的大小即可．
【解析】
（1）由题设，令x=y=0，
恒等式可变为f（0+0）=f（0）f（0），
解得f（0）=1，
（2）令y=-x，则 由f（x+y）=f（x）f（y）得
f（0）=1=f（x）f（-x），即得．
（3）任取x1＜x2，则x2-x1＞0，
由题设x＞0时，f（x）＞1，可得f（x2-x1）＞1，
f（x2）=f（x1）f（x2-x1）⇒f（x2）÷f（x1）=f（x2-x1）＞1，
又f（x1+x1）=f（x1）f（x1）=f 2（x1）≥0⇒f（x1）≥0，
故有f（x2）＞f（x1）
所以 f（x）是R上增函数．