Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=3且a_n+1=2S_n+3，数列{b_n}满足，且，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：数列是等比数列，并求{b_n}的通项公式．

Answer

（1）先根据前n项和与通项之间的关系以及an+1=2Sn+3，整理得到sn+1+=3（sn+）；进而得到{}是首项为公比为3的等比数列；求出Sn，进而得到数列{an}的通项公式；
（2）先对条件整理得到=（bn-）；再结合首项不为0即可得到数列是等比数列，求出其通项，进而得到{bn}的通项公式．
【解析】
（1）∵a1=3且an+1=2Sn+3，
∴sn+1-sn=2sn+3⇒sn+1=3sn+3⇒sn+1+=3（sn+）；
∵=a1+=≠0，
∴=3．
即{}是首项为公比为3的等比数列；
∴=×3n-1=×3n+1⇒；
∴an=2sn-1+3=3n．
（2）∵数列{bn}满足，且，
∴=3≠0；
且=（bn-）．
∴=．
∴数列是首项为3公比为的等比数列，
∴=3×⇒bn=3×+．