Question

已知双曲线的中心在原点O，其中一条准线方程为，且与椭圆有共同的焦点．
（1）求此双曲线的标准方程；
（2）（普通中学学生做）设直线L：y=kx+3与双曲线交于A、B两点，试问：是否存在实数k，使得以弦AB为直径的圆过点O？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．
（重点中学学生做）设直线L：y=kx+3与双曲线交于A、B两点，C是直线L₁：y=mx+6上任一点（A、B、C三点不共线）试问：是否存在实数k，使得△ABC是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由已知得：，则a2=3，b2=9，从而可求双曲线的标准方程；
（2）（普通中学学生做）将y=kx+3代入得（3-k2）x2-6kx-18=0，从而可得k的范围．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个根，由题意知：OA⊥OB，则x1x2+y1y2=0，从而可求满足条件的实数k；
（重点中学学生做）将y=kx+3代入得（3-k2）x2-6kx-18=0，从而可得k的范围．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个根，由题意知：A、B两点关于直线L1对称，从而可求则AB的中点D的坐标，并满足直线L1的方程，故可求满足条件的实数k．
【解析】
（1）由已知得：，则a2=3，b2=9，
因此所求双曲线的标准方程为．---（4分）
（2）（普通中学学生做）
将y=kx+3代入得（3-k2）x2-6kx-18=0，
则由3-k2≠0，△=216-36k2＞0得：，---（7分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个根，
由题意知：OA⊥OB，则x1x2+y1y2=0，---（9分）
又y1=kx1+3，y2=kx2+3，
则，即k=±1满足条件．---（12分）
（重点中学学生做）
将y=kx+3代入得（3-k2）x2-6kx-18=0，
则由3-k2≠0，△=216-36k2＞0得：，---（7分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个根，
由题意知：A、B两点关于直线L1对称，---（9分）
则AB的中点D的坐标为，
并满足直线L1的方程，则k=±1满足条件．---（12分）