Question

已知函数f（x）=ax³-x²+b，（x∈R）．
（1）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=6x-8，求a的值；
（2）若a＞0，b=2，当x∈[-1，1]时，求f（x）的最小值．

Answer

（1）根据导数的几何意义可知在x处的导数等于切线的斜率，建立等式关系，求出切点的横坐标，代入函数关系式，求出切点坐标，最后利用点斜式方程写出切线方程即可．
（2）先求导f′（x）=3ax2-3x=3x（ax-1）．再对a进行分类讨论：当＞1，当0＜＜1；分别求得f（x）在区间[-1，1]上的最小值即可．
【解析】
（1）f′（x）=3ax2-3x，f′（2）=6得a=1
由切线方程y=6x-8得f（2）=4；
又f（2）=8a-6+b=b+2，所以b=2
所以a=1，b=2
（2）f（x）=ax3-x2+2
f′（x）=3ax2-3x=3x（ax-1）．令f′（x）=0，解得x=0或x=．
以下分两种情况讨论：
①若＞1即0＜a＜1，当x变化时，f’（x），f（x）的变化情况如下表：

X （-1，0） （0，1）
f′（x） + -
f（x） ↗ 极大值 ↘

f（-1）=-a-+2，f（1）=a-+2
所以  f（x）min=f（-1）=-a
②若0＜＜1即a＜1．当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

X （-1，0） （0，） （，1）
f’（x） + - +
f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗

f（-1）=-a，f（）=2-
而f（）-f（-1）=2--（-a）=+a-＞0
所以f（x）min=f（-1）=-a
综合①和②得：f（x）min=f（-1）=-a．